求f(x)=-x^2+2ax在0<=x<=1的最大值和最小值(a属于R)

f(x)=-x^2+2ax
0<=x<=1

当0<=x<=1<=a,
f（x）min=0,
f(x)max=2a-1
当a<=0<=x<=1
f（x）min=2a-1,
f(x)max=0
当0<=a<=1/2
f（x）min=2a-1,
f(x)max=-a^2+2a^2=a^2
当1/2<=a<=1
f（x）min=0,
f(x)max=-a^2+2a^2=a^2

解：显然f(x)=-x²+2ax是一个开口向下的抛物线。

现在，抛物线的对称轴x=a。

⒈假如a≤0，那么，在区间[0，1]里，函数图象是一个递减函数，也就是说此时ymax=0，ymin=-1²+2a×1=2a-1；

⒉假如a≥1，那么，在区间[0，1]里，函数就是一个递增函数，即ymax=-1²+2a×1=2a-1，ymin=0

⒊假如a∈(0，1)，那么，在区间[0，1]里，ymax=-a²+2a×a=a²，而最小值要分开讨论，①如果a=0.5，那么ymin=0=2a-1=0(此时[0，1]两个端点处均可取得最小值。)②如果a＞0.5，也就是说对称轴靠右，那么最小值就是左端点上，ymin=0，③如果a＜0.5，则对称轴靠左，最小值在右端点上ymin=2a-1。